Querstabilität einfacher Schwimmkörper – Berechnungen zur Krängung

[seebaer150]

jaja, ich lösch wieder alles

[Heimfried]

Mit der eben angesprochenen Allgemeinverständlichkeit ist es schwierig.
Wenn ich auf den Einsatz von Geometrie und Physik verzichte, komme ich zu Ergebnissen, die so allgemein sind, dass niemand etwas davon auf die "seine" Realität übertragen kann. Die Skizze mit dem Kräftepaar und der Aussage, "das Schiff richtet sich nach einem krängenden Moment wieder auf, weil ..." findet man an vielen Stellen, aber was hilft dies einem Bootseigner, der die Krängung seines Bootes als viel zu stark empfindet und nach Ursachen sucht, die er vielleicht beseitigen könnte?

Ob es in diesem Strang zu übertragbaren Ergebnissen kommt, ist noch offen; der Weg dahin ist nicht gerade kurz.

Auch der Grad der Ausführlichkeit bleibt Abwägungssache. Bin ich zu ausführlich, blähe ich den Text auf und keiner mag ihn mehr lesen. Bei manchem Lesern taucht dann auch innerlich die Frage auf, ob ich ihn für blöd halte. Fasse ich mich dagegen zu kurz, ist das ein Hindernis für das Verständnis.

Außerdem muss ich noch die Zeit berücksichtigen, die ich benötige, um Texte verständlich zu formulieren und ggf. nachzubessern und auch, um Skizzen zu fertigen, Tabellen zu formatieren usw. Obwohl ich das alles für mich schon durchgerechnet hatte, bevor ich hier begann, habe ich festgestellt, dass das viel mehr Arbeit ist, als vermutet.

Ich will Wege aufzeigen, mit denen interessierte Bootskollegen in die Lage versetzt werden, selbst zu rechnen (Excel oder einen Klon hat fast jeder, der einen Rechner hat) und damit im günstigsten Fall für sein Boot etwas herauszufinden, was vorher nicht klar war.

Ob das gelingt, weiß ich nicht.

Ich bin aber natürlich gern bereit, näheres zu Punkten zu sagen, an denen ihr vielleicht "hängenbleibt" und dazu Erklärungen nachzureichen.

[Heimfried]

Jetzt kommt eine kleine Variation der Quaderform und damit ein kleiner Schritt in die Realität. (Ich hatte ja schon in den vorangegangenen Beiträgen, obwohl es gemäß Überschrift um einen "quaderförmigen Schwimmkörper" ging, immer mal wieder Begriffe wie "Mittschiffslinie" oder "Bootsboden" benutzt.)

Philip Thiel hat die Escargot entworfen: http://www.mission-base.com/sea-land...II_layout.html

Dieses Boot (ein "Canal Cruiser") ist meines Wissens vielfach gebaut worden. Ich werde jetzt hier ein Boot rechnerisch untersuchen, dessen grundlegende Daten ich den Plänen Thiels entnehme. Da ich fehlende Daten schätzen muss und meine Ergebnisse, die ich im Moment noch gar nicht kenne, nicht dem Konstrukteur "anlasten" möchte, nenne ich das untersuchte Boot "Like" (weil es der Escargot "ähnlich" ist).

Die Länge der Like beträgt 5,64 m, die Breite 1,83 m und die Höhe 1,45 m.

Alle Spantrisse sind im Bereich des Unterwasserschiffs Rechtecke, der Boden ist mittschiffs auf etwa 1,4 m Länge eben und krümmt sich im Bug- und Heckbereich nach oben (vgl. verlinkte Zeichnungen). Bug und Heck sind ebenfalls Rechtecksflächen (dass sie oben durch einen Bogen abgeschlossen werden, ist hier ja nicht von Belang).

Das ganze ist also einem Quader schon noch sehr ähnlich, fordert aber durch den (von der Seite gesehen) asymmetrischen Verlauf des Kimmknicks
zusätzliche Berechnungen.

Wer Bilder sehen möchte, z. B.:
http://www.john-cindy.com/escargot_1.htm
http://www.wasserkutsche.com/die-boo...wasserkutsche/
http://www.gruene-flotte.de/index.php?hauptrubrik=702

[Heimfried]

Zunächst will ich durch Näherungsrechnung bestimmen, wo der Verdrängungsschwerpunkt B (Auftriebsschwerpunkt), gemessen in Längsrichtung des Bootes liegt (LCB). Da das Unterwasserschiff der Like kein Quader ist, liegt LCB nicht in der Mitte der Bootslänge.

Dazu dient eine Exceltabelle, die ich wieder beigefügt habe. Oben links stehen Länge L, Breite B und Tiefgang D der Like.
Alle Maße in Millimetern, wenn nicht anders angegeben.

Ich verwende die Schiffskoordinaten (siehe weiter oben, Beitrag K 1, #10). Wenn die Like im Trockenen mit der Außenhaut auf einem waagrechten, ebenen Boden steht, bildet dieser die Bezugsebene x, y. Die Koordinate z eines Punktes gibt an, in welcher Höhe (mm) sich dieser Punkt über der Bezugsebene befindet. Wenn ich in der Mitte des Hecks ein Lot nach außen hänge, zeigt dieses Lot auf den Punkt AP in der Bezugsebene (Hinteres Lot, aft perpendicular). Das ist der Ursprung des Koordinatensystems, von diesem Punkt aus wird mittschiffs die Koordinate x (in Richtung Bug positiv) gemessen.

Wenn ich jetzt den Bootskörper quer zur Mittschiffsebene gedanklich in senkrechte Scheiben schneide (wie Spantebenen), nenne ich eine solche Scheibe eine Sektion. In der linken Spalte der Tabelle ("Sektion") ist die jeweilige Dicke der Scheibe angegeben, rechts daneben, in der Spalte "z" die Höhe der Unterkante dieser Scheibe über der Bezugsebene. Die nächste Spalte "x" zeigt die Entfernung von AP.

Warum steht die Null in der ersten Zeile der Spalte "Sektion"? Warum fehlt die letzte Zeile in manchen Spalten?
Wenn ich 2 Zaunfelder montieren will, muss ich 3 Pfosten aufrichten, nicht war? Sonst hat eines der Felder am Ende keinen richtigen Halt.
Wenn ich einen Laib Brot gleichmäßig mit 20 Schnitten aufschneide, habe ich 21 Scheiben, nicht wahr? Weil das, was nach den 20 Schnitten übrig ist, auch eine Scheibe ist, auch wenn man Knust dazu sagt.

Wenn ich das Brot nun nicht kauen will, sondern mathematisch bearbeiten, dann tu ich (Zaunfeldmäßig) so, als hätte ich vor dem Abschneiden der ersten Scheibe (Knust vorn) einen leeren Schnitt gemacht, der das Brot nur berührt hat und hinter den hinteren Knust setze ich auch einen gedachten Schnitt.
Dann habe ich 22 Schnitte und 21 Scheiben und die (mathematische) Welt ist in Ordnung.

In den Spalten z und x ist pro Zeile ein Schnitt dargestellt, der erste streift das Heck (x = 0), der letzte streift den Bug (x = 5640). Die erste Scheibe geht von x = 0 bis x = 314, hat also die Dicke 314. Die zweite Scheibe geht von x = 314 bis x = 619, hat also (619 - 314) die Dicke 305.
Da es eine Scheibe weniger gibt, als Schnitte, habe ich die Spalte Sektion mit der 0 begonnen.

So, jetzt kommt die nächste Spalte: "Volumen der Sektion". Es geht nur um das Volumen des Teils der Sektion, der unter der Wasserlinie liegt, also das Volumen der benetzten Sektion. Zur näherungsweisen Berechnung benutze ich das Verfahren mit Trapezen (siehe Beitrag #23) und multipliziere die Trapezfläche mit der Bootsbreite. Das ergibt das Volumen der benetzten Sektion. Um nicht unübersichtlich große Zahlen zu bekommen, rechne ich die in mm gegebenen Maße in Dezimeter um und erhalte dm³ = Liter (= kg verdrängtes Wasser).

Die Excel-Formel für das Volumen der Sektion ist: "=WENN((B11+B12)/2>B$7;0;B$7-(B11+B12)/2)/100*B$6/100*(C12-C11)/100" .
Das dreimal eingefügte "/100" macht aus den Millimetern Dezimeter. Die WENN-Funktion hat die Aufgabe, negative Werte auf Null zu setzen, wenn z für die Mitte des Trapezes oberhalb der WL liegt. Das passiert, in dem die z Koordinate der Trapezmitte mit dem Tiefgang D verglichen wird. Die WL liegt um D über der Bezugsebene, also bei z = 165. Denn alles, was nicht eintaucht, ist an der Auftriebsberechnung nicht beteiligt.

Um jetzt LCB zu errechnen, muss ich jedes Scheibenvolumen mit der x-Koordinate der Scheibenmitte multiplizieren (Volumen * Abstand) und anschließend die Summe dieser Ergebnisse durch die Summe der Volumina teilen. Volumen * Abstand habe ich in Litern * Meter gerechnet, weil mm hier wieder unübersichtlich große Zahlen ergeben hätten.

Die Execl-Formel für LCB: "=E32/D32*1000" . Die Multiplikation mit 1000 sorgt dafür, dass ich wieder Millimeter bekomme. LCB = 2.498 mm von AP.
Die Mitte der Bootslänge der Like ist 2.820 mm. Der Verdrängungsschwerpunkt liegt also 322 mm achterlich der Mitte.

Zur Kontrolle und vielleicht auch zu einer gewissen Anschaulichkeit habe ich eine zweite Volumen * Abstand Spalte eingerichtet, hier aber den Abstand der Scheibenmitte von LCB benutzt, der von LCB nach achtern negative Werte hat, in Vorausrichtung positive. Und siehe da, die Summe ist Null. So muss das sein.

[hein mk]

Moin Günter
Wenn man jezt die halben Werte der Schnitte(also der Spantflächen)unterhalb der CWL als eine Kurve deren Nullpunkt die Mittschiffslinie ist darstellt kann man schon intuitiev erfassen wo der Auftriebsschwerpunkt bei der gegebenen Schwimmlage des Körpers liegt.Das nennt sich dann Spantflächenkurve die Mitschiffslinie ist dieX-Achse die Maßstäblich im Abstand der Konstruktionsspanten unterteilt wird auf den Teilstrichen werden dann in richtung Y die Werte der Spantflächen abgetragen,wenn man hiere einen anderen Maßstab als für den Spantabstand wählt kann man die Kurve überhöhen oder abflachen.
Selbst der Durchschnittsbootsfahrer kann mit etwas Interesse an der Sache schnell erfassen welche Auswirkungen z.B.Änderungen an der Beladung seines Bootes haben werden.
gruss hein

[Heimfried]

Moin hein,

das ist richtig, aber ich kann es mit den Daten der Like nicht ohne vorherige Umrechnung anwenden, weil es gleiche Spantabstände3 (also gleichmäßig dicke Scheiben) erfordert.
Die Werte, die ich habe, sind aber vom Heck wie auch vom Bug her in 12"-Schritten gesetzt, im mittleren Teil des Bootes bleibt dann ein Differenzmaß stehen, was sich aus der Bootslänge ergibt.

Diese Sektion ist dünner und hat natürlich ein entsprechend kleineres Volumen.

Damit bekomme ich so eine Kurve:

[Heimfried]

So, heute habe ich viele Stunden aufgewendet, um eine Näherungsrechnung praktisch durchzuführen; jetzt bin ich sehr erleichtert, dass das zum Erfolg geführt hat. (Zwischendurch habe ich lange Zeit nach einem Fehler suchen müssen.)

Wieso steht "Straklatte" in der Überschrift?
Wenn ich auf einer Sperrholzplatte eine Reihe von Punkten markiert habe, die auf einer geschwungenen Linie liegen, benutze ich eine Straklatte, um herauszufinden, wie die Linie zwischen den markierten Punkten verläuft.

Wenn ich aber nun keine markierten Punkte habe, die ich "anfassen" kann, sondern nur Offsetmaße (Entfernung von einer Bezugsgeraden) auf Papier in einem bestimmten Raster und ich trotzdem wissen will, welches Offsetmaß ein Punkt hat, der irgendwo zwischen den Rasterpunkten liegt, hilft mir die Straklatte nicht weiter.

Das kann ich dann mit einer "mathematischen Straklatte" herausfinden, in dem ich rechne. Das ist zugegebenermaßen sehr mühsam, aber wenn man sich ersteinmal durchgefressen hat, wird die nächste Rechnung sicherlich einfacher; ganz abgesehen davon, dass man das Ganze wenigstens teilweise automatisieren kann. (Mit Sicherheit gibt es auch Software, die das ausgezeichnet macht, aber weiß nicht, wo und ich will es sowieso selber machen. Gehirnjogging ist ja nicht schädlich.)

In einer alten Formelsammlung fand ich eine Formel von Newton, siehe Bild "Newtonformel.jpg".

Diese Formel habe ich auf meine Wertetabelle angewandt, die die z-Koordinate des Bootsbodens der Like im Heckbereich wiedergibt: "AnwendungNewton.pdf" .

Da die Umformung der Formeln mit der Hand sehr fehleranfällig ist, bin ich auf ein Excel-Blatt übergegangen: "Ex5.pdf" .

Zum Excelblatt ein paar Erklärungen:

Oben links steht die x,z-Wertetabelle für den Boden am Heck. Die Dritte Spalte heißt "Delta", darin steht die Differenz vom z-Wert zum vorangegangenen z-Wert:
(156 - 203) = -47 . Die nächste Spalte "Delta^2" enthält die Differenz der Differenzen, die nach dem gleichen Muster gebildet wird: (-48 -(-47)) = -1 . Dementsprechend folgen die weiteren Spalten. (Anzumerken ist noch, dass "Delta^2, Delta hoch zwei" nicht bedeutet, dass Delta quadriert wird, der Exponent zeigt in diesem Fall nur an, welcher Ordnung dieses Delta ist, also z. B. Differenz der Differenzen der Differenzen.)

Der jeweils oberste Wert der Delta-Spalten (203, -47, -1, 8, ...) geht als Koeffizient in die Newton-Formel ein. Danach berechne ich die Werte der Nenner, ein Produkt der jeweiligen Fakultät und der Potenz der Schrittweite (305 mm). In der Spalte daneben ist der Quotient des jeweiligen Deltas und des zugehörigen Nenners gebildet.

Dann kommen die "Koeffizienten der Klammer-Entwicklung": Wenn Terme wie (x - 9)(x - 314)(x - 619) ausmultipliziert werden, errechnet man dabei die Koeffizienten, die zu den jeweiligen Potenzen von x gehören: z. B. der Term x² -323 x + 2826 hat die Koeffizienten 1, -323 und 2826 .

Auf der nächsten Seite zeigt das Excel-Blatt die nach Potenzen geordneten Werte, die sich ergeben aus Koeffizient * Delta/Nenner.
Nun müssen die Koeffizienten für jede Potenz summiert werden, die Summen stehen unter dem Strich. Diese Summen sind nun die Koeffizienten der Newtonschen Näherungsformel, also das erstrebte Ergebnis.

Dann folgt noch die Überprüfung der Formel: die Werte der x-Spalte: 9, 314, 619, ... werden in die Formel eingesetzt und die ausgegebenen z-Werte stimmen mit den Ausgangswerten überein. Die Formel scheint also zu stimmen. (Nach meinem ersten Rechengang kamen an dieser Stelle fehlerhafte Ergebnisse heraus, daher wusste ich, dass ich etwas falsch gemacht hatte.)

Unter dem Strich sind noch 3 willkürlich ausgewählte x-Werte eingegeben, deren z-Koordinaten stehen rechts davon. Und schon sieht man, dass es, trotz all der vielen Arbeit, doch nur ein Näherungsverfahren ist, es erscheint auch ein Wert unter Null, der gar nicht vorkommen dürfte. Aber so ein halber Millimeter Abweichung ist im Holzbootsbau ja keine furchterregende Größe.

Natürlich habe ich noch ein bisschen mehr geprüft: ich habe über den größten Teil des berechneten Bereiches für x in 10-mm-Schritten die dazugehörenden z-Werte mit der Newton-Formel errechnet und die Ergebnisse grafisch dargestellt. (Die Grafik ist überhöht, weil mein altes Excel nicht fragt, wie ich das gern hätte, aber es geht ja bei der Kontrolle nur um die Frage, ob die Kurve glatt ist und vernünftig aussieht.)

Und falls es wider Erwarten doch jemand genau wissen möchte: in Ex6.pdf sind die zur Grafik gehörenden x,z-Werte gelistet.

[Heimfried]

Ich habe das Excel-Rechenblatt zur Newton-Formel, das ich gestern hier vorgestellt habe, "automatisiert" und biete es zum Testen an.

(Ich habe natürlich auch schon getestet, aber man weiß ja nie, ob da noch irgendwo ein Bug steckt. Gebrauch also auf eigenes Risiko.)

Typische Verwendung: zu einem Konstrutionsplan für ein Boot gehören Offsettabellen, die für den Plankenzuschnitt in gleichmäßigen Abständen (z. B. alle 100 mm) angeben, wie groß die Entfernung einer geschwungenen Linie von der Kante der Sperrholzplatte (Bezugsgerade) ist.

Es müssen jetzt nur noch oben in das Rechenblatt die Werte der Tabelle eingegeben werden (mindestens 2, höchstens 9 Wertepaare), nur die wenigen, blau unterlegten Felder sind für Eingaben bestimmt! Den Rest erledigt das Blatt selbst, der Mittelteil der Berechnung bleibt sichtbar, kann aber ignoriert werden.

Die Newton-Formel, die ich verwende, setzt allerdings voraus, dass alle x-Werte in gleichem Abstand liegen, z. B. 335, 380, 425, 470, ... Abstand also 45 .

Am Fuß des Blattes ist eine Tabelle für die Ergebnisse. In die blauen Felder der x-Spalte gibt man einen beliebigen x-Wert ein, der irgendwo zwischen dem niedrigsten und dem höchsten x-Wert der ursprünglichen Tabelle liegt und daneben erscheint der dazugehörende y-Wert.

Man kann auch x-Werte eingeben, die außerhalb des ursprünglichen Bereiches liegen (eine Art Extrapolation), aber das wird nur dann sinnvolle Ergebnisse liefern, wenn man nahe am Bereich bleibt.

Das Blatt ist ungeschützt, ihr könnt also auch einen Feldinhalt versehentlich löschen oder verändern und dann ist das Blatt zerschossen. Es empfiehlt sich daher, vor der Benutzung eine Sicherheitskopie anzulegen, damit man ein beschädigten Rechenblatt wieder ersetzen kann. Solange ihr, wie vorgesehen, nur in die blauen Felder etwas eingebt, kann aber nichts passieren.


Ich hänge die Excel-Mappe hier als ZIP an und hoffe, dass das für etwaige Interessenten der Download und das Entpacken keine Probleme bereiten.

Fragen beantworte ich gern, an Testergebnissen wäre ich sehr interessiert.

[chromofish]

Auch wenn ich es selbst kaum brauchen werde (), so äußere ich hier doch ein persönliches Dankeschön für die tolle Arbeit.

Danke!
und Grüße

Bert

P.S. Vielleicht teste ich das mal mit den Offsets des Melonseed.

[chromofish]

Zitat von Heimfried

...

Typische Verwendung: zu einem Konstrutionsplan für ein Boot gehören Offsettabellen, die für den Plankenzuschnitt in gleichmäßigen Abständen (z. B. alle 100 mm) angeben, wie groß die Entfernung einer geschwungenen Linie von der Kante der Sperrholzplatte (Bezugsgerade) ist.
...

ZU den Offsettabellen: Die geben doch im Allgemeinen die Lage eines Punktes auf einem Spant an und nicht etwa den Abstand eines Punktes von einer Geraden.

Wenn ich jetzt meine Offsettabelle mit dem Exelblatt von dir verwende, so erhalte ich zwar die Zwischenpunkte, allerdings nur in 2 Dimensionen, es fehlt die 3.Dimension. Ist y die Ausdehnung in der Breite? Wo ist z? Eine Visualisierung auf einem Bootskörper wäre hilfreich, z.B. hier:

[chromofish]

Ok, ich gebe mir die Antwort selbst - ist ja auch easy: Ich verfahre einmal nach y, dann in einem 2. Rechenblatt nach z. Theoretisch dürfte dann eine 3-dimensional gestrakte Linie herauskommen. Oder nicht?

Und wie kann man jetzt das Newton2-Blatt auf 14 Stationen erweitern?

[Heimfried]

Moin Bert,

die Newton-Formel ist nur für Kurven in der Ebene geeignet. Deswegen bin ich auch auf die Bezeichnung x,y eingeschwenkt, weil das der Standard für kartesische Koordinaten ist.

Natürlich ist es egal, wenn du statt der y-Koordinate die z-Koordinate eingibst. Du musst dann halt wissen, dass du z = f(x) herausbekommst.

Die Offsettabellen, die ich bisher gesehen habe, bezogen sich immer auf den Zuschnitt der eben liegenden Sperrholzteile. Und der Rumpf meines Beispielbootes Like ist ja auch nur in einer Ebene (zwei Dimensionen) gekrümmt.

Wenn du eine Planke auf die Spanten eines runden Bootskörpers bringst, hast du eine Krümmung in drei Dimensionen und da kommt die Formel nicht hinterher.

Was du berechnen kannst, ist die jeweilige Projektion der räumlichen Kurve auf eine Ebene. Ob das aber praktisch hilfreich ist, kann ich derzeit nicht beurteilen. Dabei muss man auch noch berücksichtigen, dass das x, das man beim Zuschnitt in der Ebene verwendet, nicht mit dem x des Schiffskoordinatensystems übereinstimmt, sobald das Bauteil beim Einbau gekrümmt wird. Das x-Raster der Bordwände der Like bleibt auch nach dem Einbau gleich, weil die Bordwände in einer ebenen, senkrechten Position montiert werden. Das x-Raster des Bootsbodens aber, der gebogen eingebaut wird, hat sich am Boot geändert, wenn ich die Schiffskoordinaten verwende: die Länge des in der Ebene liegenden Bodens ist 5,74 m, das Boot aber nur 5,64 m.

Erweitern auf 14 Stationen.
Das geht sicherlich, ist aber aufwendig und stößt möglicherweise auf technische Grenzen. (Ich meine in Erinnerung zu haben, dass eine Excel-Formel für einen Feldinhalt nur 255 Zeichen lang sein darf, das wird aber wohl in neueren Versionen überholt sein, außerdem kann man das Problem mit "Zwischenfeldern" abfangen, in die man Teile der Formeln "auslagert".)

Ich habe ja gestern auch nur 7 Stützpunkte verwendet und heute auf 9 erweitert. Man muss rechts entsprechend Spalten dranhängen und sich die Formeln ansehen, da läßt sich natürlich die Regel ableiten, die für die Bildung der Erweiterung nötig ist.

[Heimfried]

Es gibt jetzt die Excel-Datei Newton3 (unten als ZIP zum Download), die gegenüber der Newton2 erweitert ist.

Ich habe auf 10 Stützpunkte (Wertepaare) erweitert, auch mit Blick darauf, dass es wohl relativ üblich ist, 10 Spantenrisse zu zeichnen. Trotzdem die Anmerkung: es ist halt eine Näherungsrechnung; wie tauglich die für einen Strak über die ganze Bootslänge ist, ist fraglich.

Es gibt drei neue Blätter in der Mappe:
1. Tab "Wertepaare" zeigt bereits die Koordinaten von 200 Punkten innerhalb des Intervalls, da muss man vorher keine x-Werte eingeben. Die Wertepaare liegen in den grau unterlegten Feldern, die vielen anderen Werte sind Hilfsgrößen, die ihr am Besten mit Nichtachtung straft.

2. Wenn man sich bei der Eingabe eines y-Wertes vertippt, können natürlich "wilde" Kurven ausgerechnet werden, weil das Rechenblatt keine Plausibilitätsprüfung vornimmt. Das ist an den Ergebnis-Werten in Zahlen oft gar nicht leicht zu erkennen. Deshalb habe ich ein Diagrammblatt angefügt, in dem die errechnete Kurve grafisch dargestellt wird, Tab "x,y-Diagramm". An einem Kurvenverlauf kann man sofort sehen, ob das Ergebnis plausibel ist. Strakt es, oder ist der Wurm drin?

3. Tab "verschobenes Diagramm"
Da mein Excel die Diagramme teilweise etwas eigenwillig erzeugt, ist da manchmal der größte Teil des Diagrammblattes leer und an der kurzen Linie, die da irgendwo klemmt kann man nicht so viel erkennen. Deshalb habe ich in dem zweiten Diagrammblatt den Beginn der Kurve in den Koordinatenursprung verlegt. Die Maßstäbe für die Koordinaten sucht sich Excel selbst, deshalb kann die Kurve z. B. überhöht sein oder gestaucht. Da es aber nur um die Gleichmäßigkeit des Verlaufs geht, kann man damit trotzdem arbeiten.

Auf der ersten Seite (Tab "Newton") kann man natürlich unten in die blauen Felder weiterhin x-Werte eingeben und sich den y-Wert anzeigen zu lassen.

(Wie oben in Beitrag #33, keine Haftung, Meldungen zu Fehlern oder Fragen sind willkommen.)

[Heimfried]

Moin Bert,
es ist übrigens jetzt bereits bei der Erweiterung auf 10 Stützpunkte das passiert, was ich gestern habe kommen sehen (oben, #37): gewisse "technische" Grenzen meines Excels waren überschritten. Allerdings vermutlich nicht die Anzahl der Zeichen für eine Formel in einer Zelle, wohl aber deren arithmetischer Inhalt.

Bei dem Einfügen des 10. Summanden mit der neunten Potenz kam immer eine Fehlermeldung, wie sie zu einem Syntaxfehler gehört ("Formel enthält einen Fehler"). Natürlich habe ich erstmal ziemlich lange diesen Fehler gesucht, den es aber nicht gab, was ich erst nach längerem Herumprobieren bestätigt fand.

Dann habe ich widerwillig Zellen mit Hilfsgrößen eingeführt, das verschlankt den logischen Inhalt der anderen Formeln und dann hat es geklappt.

[Heimfried]

Îch habe jetzt die Excel-Tabelle mit der Newtonformel nochmal erweitert und auch sonst ergänzt.

Die Ergebnisse gefallen mir aber noch nicht (die grafischen Darstellungen straken teilweise nicht). Das kann nun daran liegen, dass ich die Leistungsfähigkeit dieser Formel überfordere, aber auch einfach daran, dass ich noch Fehler im Rechenblatt habe.

Mal sehen, wie es weitergeht.

[Heimfried]

Nachdem ich in mehreren Anläufen ziemlich viel Zeit damit verbracht habe, nach einem Fehler in meinem Excel-Sheet zu suchen, weiß ich jetzt, dass es diesen Fehler höchstwahrschinlich nicht gibt.

Ein solcher Fehler war ohnehin nicht sehr naheliegend, weil das Blatt in vielen Fällen ganz exakte Ergebnisse geliefert hat. Aber andererseits kann ich mit den Gleichungen
2 + 2 = 4 und 2 * 2 = 4 ja auch "beweisen", dass es zwischen Addition und Multiplikation keinen Unterschied gibt.

Ich hatte das Excel-Blatt auf 14 Stützpunkte erweitert in dem Glauben, dass die Qualität der Näherung mit der Anzahl der Stützpunkte wächst, wie das bei simplen Näherungsverfahren der Fall ist. Außerdem hätte es die Möglichkeit eröffnet, die Linien etlicher Bootsrisse komplett abzubilden.

Ich habe dann die Daten der Sheerline (z-Koordinate) des "28' Cutter Njord Table of Offsets" aus Buehlers Backyard Boatbuildung" umgerechnet und eingegeben. Das Ergebnis war ernüchternd. Die errechnete Sheerline hat am Bug eine Beule und am Heck einen meschuggenen Schlenker.

Das graphische Ergebnis des Newtonschen Näherungs-Polynoms ist unten in den Bildern "Newton14" zu sehen. Einmal im überhöhten z-Maßstab, der das besonders deutlich zeigt.

Als Vergleich dazu die Graphen, die sich ergeben, wenn man die eingegebenen Koordinaten der Sheerline nur durch gerade Linien verbindet (ebenfalls einmal im überhöhten Maßstab).

Vor gut 100 Jahren hat der Mathematiker Runge herausgefunden, dass die Newtonsche Näherung bei bestimmten Funktionen ziemlich krude Ergebnisse liefert, besonders in den Randbereichen des Intervalls.

Ein bisschen schade das Ganze, aber wieder etwas gelernt.

[Heimfried]

Moin, Moin.

Nachdem der Versuch, über Polynome zu gut handhabbaren Ergebnissen zu kommen, nicht so recht klappte (s.o.), bin ich reumütig zu elementaren Näherungsverfahren zurückgekehrt.

Das Ergebnis sieht erstmal gut aus. Natürlich kann ich noch nicht sicher sein, dass es keine Fehler enthält (einschließlich etwaiger Denkfehler bei den Ansätzen der Berechnung).

Es geht darum, bei einer gegebenen Rumpfform (hier die "Like", s. o. #28) und bei jeweils ausgewählter Krängung und ausgewähltem Trim die Lage des Auftriebsschwerpunktes zu ermitteln. (Das erfordert mehrere Schritte, hier ist der erste.)

Dazu muss ich erstmal die Verdrängung kennen, die bei einem bestimmten Tiefgang entsteht. Als Bezugspunkt dafür verwende ich den Tiefgang des Ursprungs des Schiffskoodinatensystems, mit anderen Worten, die z-Koordinate der Wasseroberfläche im Schiffskoordinatensystem (bei x = 0 und y = 0).

Ich habe eine Excel-Mappe angefertigt, damit kann man "spielen" und das ist etwas plastischer, als eine rein sprachliche Darstellung. Die Mappe steht unten als Download (ZIP) zur Verfügung. (wie bisher: Mappe nur für Testzwecke, keine Haftung.)

Wir nehmen an, dass in der Gleichgewichtslage des Bootes die Winkel für Krängung (phi) und Trimm (theta) null sind. Dann liegt der mittlere, ebene Bereich des Bootsbodens parallel zur Wasseroberfläche, wir nehmen an, 165 mm darunter. Daraus ergibt sich eine Verdrängung von 1079 dm³.

Wenn jetzt das Boot durch eine äußere Krafteinwirkung krängt, ohne, dass sich das Gewicht des Bootes ändert, muss natürlich die Verdrängung gleich bleiben.

Zur Excel-Mappe: Eingaben nur auf dem ersten Tab ("A") in die blau unterlegten Felder, Ausgabe Verdrängung "DISPV" dort im rötlich unterlegten Feld.
Längen im Millimetern, also ergibt sich daraus die Verdrängung in mm³. (1.078.812.938 mm³ = 1.078.813 cm³ = 1.079 dm³ = 1,079 m³)

Zur Berechnung habe ich den Bootsrumpf (Tab "B") durch Schnitte gedanklich in "Stifte" zerlegt, die jeweils die gleiche rechteckige Grundfläche haben (91,5 mm * 94 mm).
Erstens: in genau gleichem Abstand 19 Schnitte parallel zur Mittschiffsebene, dadurch entstehen 20 gleichbreite (91,5 mm) Längs-Scheiben. Diese Längsscheiben bleiben weiterhin in der ursprünglichen Position, haben zusammen also immer noch die Form des Rumpfes.
Zweitens: durch diesen Längsscheiben-Rumpf in genau gleichem Abstand 59 Schnitte senkrecht zur Längsachse (Abstand 94 mm). Mit jedem Schnitt entstehen 20 rechteckige "Stifte", einer pro Längsscheibe. Es ergeben sich zusammen also 1200 Stifte.

Die Tabelle in Tab B zeigt die z-Koordinate an jeder senkrechten Kante eines Stifts. Die Tabelle in Tab BM zeigt die mittlere z-Koordinate für die Stifte, das arithmetische Mittel aus den 4 Eck-Koordinatenwerten.
Dementsprechend zeigt Tab A die z-Werte der Wasseroberfläche und Tab AM die mittleren z-Werte für die jeweilige Stiftmitte.
Da das in schiffsfesten Koordinaten dargestellt wird. ist die (unbewegte) Wasseroberfläche eine schiefe Ebene, wenn nicht Krängung und Trimm 0 sind.

Wenn ich jetzt also einen Krängungswinkel eingebe (Tab A, oben rechts, blaues Feld, Eingabe in Grad), verändert sich zunächst die oben links im rötlich unterlegten Feld angezeigte Verdrängung DISPV. Um die Lage des Bootes zu bestimmen, muss ich jetzt durch gezieltes Probieren (Einsetzen verschiedener Werte für z(0) in Zelle B5) einen passenden Wert herausfinden, bei die Verdrängung wieder den vorherigen Wert (1079 dm³) annimmt.
(Anmerkung: doch, probieren ist eine mathematische Methode, man kann das auch automatisieren und durch Iteration annähern.)

Edit: Datei-Anhang durch neue Version ersetzt.

[Heimfried]

Moin,

ich habe die Mappe ergänzt um die Berechnung des Verdrängungsschwerpunkts (= Auftriebsschwerpunkt) in den drei Koordinaten:
x(B) = LCB, y(B) = TCB und z(B) = VCB .

Hübsch ist noch, dass eine numerische Berechnung indirekt auch ein graphisches Ergebnis anzeigen kann. Gebt mal auf Tab A in Feld L3 eine 11 ein (11° Krängung) und in Feld B5 151,8 (mit der Veränderung des "Tiefgangs" wird die ursprüngliche Verdrängung wieder eingestellt).

Jetzt Wechsel auf Tab D. Die Wertetabelle dort zeichnet die aktuelle Wasserlinie nach (Grenze zwischen 0 und mehrstelligen Werten). Nun kann man natürlich auf Tab A Krängung, Trimmwinkel und Tiefgang weiter variieren und auf Tab D immer sehen, wie sich die Wasserlinie verändert.

(Screenshoot angefügt)

[Heimfried]

Damit ihr euch das ein bisschen besser vorstellen könnt:
Skizze 4a zeigt die Hauptspantebene bei der um 5° gekrängten "Like". Da ich das schiffsfeste Koordinatensystem benutze, habe ich das Bild des Spantes in der Senkrechten stehenlassen und die Wasserlinie gekippt.
Blick vom Bug zum Heck, weil die Koordinaten so definiert sind, Bb also rechts.

Die z-Koordinate (z-Wert) der Wasserlinie über dem Koordinatenursprung 0 (zugleich K) hat sich auf z(0) = 162,5 mm verringert (ohne Krängung war z(0) = 165 mm). Die Eintauchtiefen der Bordseiten D(1) und D(2) sind mit einem Fragezeichen versehen; das soll ein Hinweis darauf sein, dass wir bei der Like (anders als beim Quader, s. o. #13) über die Verdrängung rechnen müssen.

Skizze 4b zeigt in der Draufsicht den ungefähren Verlauf der Wasserlinie. Achtung: weil es eine Draufsicht ist und der Bug "oben" liegt, ist Steurbord jetzt wieder rechts!

Skizze 5 zeigt den Seitenriss; nur darin zeigen sich ja die Abweichungen der Bootsform der Like vom Quader ("Backstein").

[karlstatt]

Bin ich froh, dass ich nur fertige Pläne im Maßstab 1 zu 1 übertragen muss

[hein mk]

Moin
Und ich sach ma:Bei einem B:L von 1:3 gehört der Schwimmkörper der "Like" schon rein gefühlsmäßig nicht zu den super kentergefährdeten wenn man bei Ausbau und Beladung auf ein niedrigen(imVerhältniss zu WL) Gesammtschwerpunkt achtet.Zum Kentern kann manm jedes Wasserfahrzeug bringen man muss durch falsche Beladung oder andere Umstände nur die Stabilität überwinden,das bekommt man auch bei einem richtig gelegenem Schwerpunkt und eigentlich ausreichender Stabilität hin z.B.durch resonantes Aufschaukeln/Rollen da wirkt dann die Stabilität als"Doppelagent".Aber das ist für fortgeschrittene Betrachtungen und spielt für Waserfahrzeuge die auf Kanälen und ähnlich friedlichen Wasserstraßen benutzt werden nicht so die Riesenrolle und ist auch nur ein Lieblingsthema von mir weil ich ein schlaues Buch darüber gelesen habe.
gruss hein

[Heimfried]

Moin hein,

ja, klar; sowas, wie die Like, liegt sehr stabil.

Meine Berechnungen sind nicht von Kentersorgen angetrieben, sondern vom Genau-Wissen-Wollen.

[Heimfried]

Es war wieder mühsam, aber die Excel-Mappe (als ZIP beigefügt) ist wieder ein Stück gewachsen.

Es geht jetzt darum, wie stark die "Like" krängt, wenn der Skipper aus der Schiffsmitte an den Steuerstand geht.

Ein wichtiges Ziel meiner Rechnerei war (und ist), Ergebnisse zu finden, die sich auf das "Verhalten" von Sportbooten übertragen lassen, wenn auch nur mit etlichen Einschränkungen.

Wirkt sich eine vermutlich nachträglich angebrachte Metallplatte auf das Krängungsverhalten aus, oder nicht:
http://www.boote-forum.de/showpost.p...&postcount=926

Oder: wirkt es sich aus, wenn Treibstoff zwischen getrennten Tanks von Stb nach Bb fließt?

Mal sehen, ob sich Antworten darauf finden lassen.

Erstmal sind wir bescheiden: Die Like liegt in Ruhelage, Trimm und Krängung sind Null. Tiefgang 165 mm, das ergibt eine Verdrängung von 1.079 Litern = 1,079 Tonnen. Der Skipper steht auf dem Achterdeck mittschiffs vor dem Niedergang. Er geht jetzt an den Steuerstand und verlagert damit seine Körper-Masse von 75 kg um 590 mm nach Backbord. Diese Verlagerung findet nur in y-Richtung statt und verändert den Trimm nicht. Damit hat sich auch der Gewichtsschwerpunkt des gesamten Bootes um 41 mm nach Backbord verschoben.

Ich beschreibe jetzt erstmal ein paar Dinge, die man mit der Excel-Mappe machen kann (ich setze voraus, dass der Zustand ist, wie beim Download).
Tab A beschreibt die o. g. Ruhelage. Wechsel auf Tab mx, dort in das Feld B20 75 eingeben, jetzt hat der Skipper sein Gewicht. Im Feld B26 werden jetzt die 41 mm angezeigt, um die der Massenschwerpunkt nach Backbord (positive y-Richtung) gewandert ist. Zurück zu Tab A: in den Feldern G8 und I8 werden jetzt Koordinaten des Massenschwerpunktes G angezeigt, Die Verdrängung DISPV (Feld B3) wird jetzt in Litern angezeigt, das Feld N3 enthält eine momentan noch sinnlose Zahl.

Es geht jetzt darum, uns in kleinen Schritten an die richtige Krängung heranzutasten; richtig heißt, dass wieder ein Gleichgewichtszustand herrscht: solange der Skipper am Steuerstand bleibt (und keine andere Massenverlagerung eintritt) behält die Like die durch die Massenverschiebung erzeugte "Schlagseite".
Gleichgewicht bedeutet ganz praktisch, der Auftriebsmittelpunkt muss wieder genau senkrecht unter dem (neuen) Massenschwerpunkt liegen; dann sind die Wirkungslinien von Gewicht und Auftrieb in Deckung und der Hebel ist Null.

Gib in das Feld L3 eine 1 ein, also eine Krängung von 1°. Das ist noch zu wenig, denn der Wert im Feld N3, der etwa gleich groß sein müßte, wie der Wert in L3, ist noch negativ.

Nächster Versuch: gib in L3 eine 2 ein, N3 ist jetzt nicht mehr negativ, sondern hat den Wert in L3 "überholt"; also war 2° zu viel. Versuchen wir's mit 1,5. N3 zeigt einen höheren Wert als L3, also ist auch 1,5 zu viel. Versuch mit 1,25 ergibt, dass das zu wenig ist.
Das ganze ist ein bisschen fummelig, wenn man zu große Schritte macht, läuft der Wert weg. Wenn man aber geduldig schaut, ob der zuletzt eingegebene Wert zu groß oder zu klein ist und entsprechend korrigiert, kommt man der Lösung immer näher. (Dieser Vorgang ist das, was als Iteration bezeichnet wird (s. u.). Man kann das auch automatisieren, also durch ein Programm erledigen lassen.)

Zehntel oder Hundertstel von Winkelgraden sind natürlich für den Umgang mit Booten unwichtig, es geht jetzt nur darum, zu sehen, dass man die Werte in L3 und N3 einigermaßen nahe zusammenbekommt. Es geht auch darum, dass man ein Gefühl dafür bekommt, dass die Werte in N3 etwas "zickig" herumspringen, wenn man zu große Schritte nimmt. Noch eine Erschwernis kommt hinzu, die bei unserer geringen Masseverschiebung noch keine Rolle spielt: wir müssen immer wieder kontrollieren, ob sich die Verdrängung in Feld B3 nennenswert verändert hat. Falls ja, muss über die Veränderung des Tiefgangs in Feld B5 nachgesteuert werden, damit wieder etwa das alte DISPV in Feld B3 erscheint, denn die Masse des Bootes inklusive Skipper hat sich ja durch die Verlagerung nicht verändert. Zum Abgleich dient das Feld B2, in dem das "richtige" DISPV1 angezeigt wird.

Mit 1,3° sind war dann doch sehr nahe dran (N3 zeigt 1,304) und nehmen das als Ergebnis:
die Seitwärts-Bewegung des 75-kg-Skippers hat zu einer Krängung von 1,3° geführt.

Zur Kontrolle noch ein Blick auf den Tab KT. Dort ist eine Koordinatentransformation von "unserem" schiffsfesten Koordinatensystem in das erdfeste System durchgeführt. Letzteres hat den Vorteil, dass Gewichts- und Auftriebskraft, die ja senkrecht wirken, genau in Richtung (bzw. Gegenrichtung) der Koordinate "Zeta" liegen. Die gelb unterlegten, gleich großen Werte für "Eta" zeigen an, dass Auftrieb und Gewicht in einer Wirkungslinie liegen.

Ich hatte ja fast Mühe zu glauben, dass das, was ich da an Berechnungen herausgepfriemelt hatte, ein richtiger und brauchbarer Weg ist. Gibt es vielleicht irgendeine "Zauberformel", mit der das ganz einfach zu berechnen ist? Anscheinend nicht.

Prof. Dr.-Ing. Stefan Krüger, Technische Universität Hamburg-Harburg, Institut für Entwerfen von Schiffen und Schiffssicherheit, schreibt, das macht man so:
http://www.ssi.tu-harburg.de/doc/web...agen/kosys.pdf
Ausriss:
" [...] In praxi taucht aber oft das umgekehrte Problem auf, nämlich fur gegebene Masse und xG; yG; zG eine Schwimmlage
T, theta, phi zu finden. Dies wird durch eine iterative Verbesserung aus einer gegebenen Anfangsschwimmlage
T1, theta1, phi1 gemacht. [...]

Wie immer: in der Mappe können noch Fehler stecken, Hinweise werden gern angenommen, Fragen gern beantwortet.

[chromofish]

Hallo Günther,

du breitest hier einen wahren Schatz an mathematischem Wissen aus, der jedem Bootskonstrukteur und-bauer Freude bereitet.

Hier eine kleine Belohnung:
http://www.fky.org/prestodata/docume...title=Yachtbau

Auch Arthur Tiller hat sich mit Simson Regeln usw. befasst und
Boote berechnet. Leider ist es nicht komplett eingescannt, kommt vielleicht noch?

Ich hab mal gegoogelt: das Buch ist nur antiquarisch erhältlich - könnte dich vielleicht interessieren...

Bert

[Heimfried]

Danke für den Link, Bert.

Auf 076.jpg habe ich eine sehr interessante Schreibweise für "Schwerpunkt" gefunden, die ich noch nie gesehen hatte.