Querstabilität einfacher Schwimmkörper – Berechnungen zur Krängung

[Heimfried]

Im Zusammenhang mit Konstruktionsplänen von Booten und meinem Vorhaben, ein Boot zu bauen, bin ich auf die Frage der Stabilität verschiedener Rümpfe gestoßen.

Stabilität ist die Eigenschaft eines schwimmenden Körpers, sich aus einer Neigung (z. B. Krängung) wieder aufzurichten.

Dazu lassen sich im Web zwar leicht viele Skizzen und grundlegende Erklärungen finden, allerdings lässt sich auf einfachem Wege daraus kaum etwas Erhellendes ableiten, das sich auf Boote anwenden lassen würde.

Ob es mir gelingt, hier Erhellendes darzustellen, weiß ich auch noch nicht, aber ich habe vor, die Mühsal des Rechnens auf mich zu nehmen und – wenn ich die Arbeit schon mache – das hier auch Vorzurechnen. (Es kann ja sein, dass es – früher oder später – Menschen im Boote-Forum gibt, die sich damit beschäftigen möchten. Ich frag aber lieber nicht.)

Natürlich geht es eigentlich um Boote, aber um die Erklärung der Zusammenhänge halbwegs verständlich darstellen zu können, muss ich ersteinmal auf eine extrem simple Vereinfachung zurückgreifen: der Rumpf des Schwimmkörpers hat die Form eines Backsteins (geometrisch ein Quader).

Ich betrachte auch nur die Hydrostatik: kein Wind, keine Wellen, keine Strömung usw.

Meine Überlegungen erhielten einen weiteren Anstoß durch jüngst im konkret aufgetretene Fragen: welchen Einfluss auf die Krängung könnte ein geteilter Treibstofftank haben, welchen Einfluss hat ein relativ schweres Bauteil auf dem Boot, welches wahrscheinlich nachträglich eingefügt wurde?

Ich habe keinerlei nautische Ausbildung, kann nur ein wenig Physik und hoffe, dass das reicht. Mal seh'n.

Für Kritik bin ich offen, die meisten Berechnungen liegen im Bereich relativ einfacher ebener Geometrie, aber Fehler kann man trotzdem jede Menge machen; Rechenfehler und Denkfehler. Ich werde versuchen, alle Schritte nachvollziehbar darzustellen, damit das jeder Interessierte nachprüfen kann. Auch wenn der geneigte Leser an meinen Aussagen nur zweifelt, bin ich für einen Hinweis sehr dankbar, etwa: "kann das denn stimmen?"

Es ist besser, ein Hinweis kommt zu einem nur vermeintlichen Fehler, als dass ein wirklicher Fehler stehenbleibt, der andere Leser in die Irre führt.

Noch etwas: ich kann im Voraus nicht abschätzen, wann ich jeweils wieviel Zeit für neue Beiträge erübrigen kann. Es kann also sein, dass es "Dürreperioden" gibt, wenn ich eine Weile keine Zeit für Beiträge habe.
(Es kann freilich auch sein, dass ich aufgebe, wenn ich den Eindruck habe, dass das Interesse zu gering ist.)

Gruß, Günter

[Käptn Fred]

Vielleicht hilft dir das etwas weiter? --> http://www.jimsboats.com/15jan14.htm

[cellist]

:great: mach mal Ick freu mir und hoffe zu lernen!

[MV-Zausel]

Hmm... mit Trimm- und Stabilitätsberechnungen beschäftigt man sich eigentlich nicht freiwillig... Und wenn man es per Hand rechnen mag, ists z.T. viel, viel Aufwand
Bin gespannt - und wenn du fragen hast, dann raus damit!

[Küstenkrabbe]

Das aktuelle Delftship erledigt das eigentlich sofort mit.

[hein mk]

Zitat von Küstenkrabbe

Das aktuelle Delftship erledigt das eigentlich sofort mit.

Moin
Ja,das ist ja auch gut so,aber ich meine,dass die Intention von Günter eher die ist,dass er die Zusammenhänge selbst verstehen und zumindest grob auch berechnen oder einschätzen können will.Für die Stabilitätsberechnung von den stark von einer Kastenform abweichenden Bootsrümpfen,wie z.B. bei Segelbooten,reichen so ganz einfache Methoden nicht mehr aus da muss man schon das eine oder andere integral heranziehen und weil das von hand doch eher mühselig ist gibt es diese Programme.Nur die absicht zu ergründen bei welcher Krängung welche Spantflächen(und da mit auch Volumen)ein und austauchen und welcher Auftrieb in welchem Schwerpunkt(und damit welchem aufrichtendem Hebelarm)erfordert schon das verrechnen einiger Kurven(Verdrängungsverteilung,Spantflächenkurven)m it einander.
Ich kann das auch nicht und verlasse mich da dann mehr auf Schätzwerte die Z.B.für Riggberechnungen von Yachtkonstrukteuren empirisch ermittelt wurden,wenn man für ein Fahrtensegelboot dann bei der Dimensionierung des Riggs immer noch einige Angstprozente aufschlägt dann wird das schon halten aber der Kahn trotzdem nicht bei jedem stärkerem Windhauch auf die Seite geschmissen werden.
gruss hein

[frimeur]

Ein Teil deiner Überlegungen wie "geteilte Tanks, 'loser Ballast' etc. wird quasi mit diesem Paradebeispiel eines Backsteinkreuzers beantwortet:

PARADOX von Matt Layden, USA

http://www.microcruising.com/plans1.htm

Matt baut zwei Süßwassertanks in den Zwischenboden, ein 12V Akku aus dem KFZ dient ebenfalls als fixiertes 'loses' Ballastteil. Weitere Konserven und Wasserflaschen, Anker etc. dienen als Ballast, um das Boot selbstaufrichtend zu machen.
In seinen Plänen gibt es auch eine Dartellung des Auftriebs je nach Neigung des Schiffes.

[Heimfried]

Danke für die Antworten und Links. Euer Interesse freut mich.

[Heimfried]

Zitat von hein mk

[...]
ich meine,dass die Intention von Günter eher die ist,dass er die Zusammenhänge selbst verstehen und zumindest grob auch berechnen oder einschätzen können will. [...]

Moin hein, du hast genau den Punkt getroffen. Ich möchte halt Vieles etwas genauer wissen und habe oft gemerkt, dass so manche Sache, die man glaubte, verstanden zu haben, in der konkreten Anwendung Probleme machte.

Richtig intus hat man das oft erst dann, wenn man es auch durchgerechnet hat.

Gruß, Günter

[Heimfried]

Um die geometrischen Verhältnisse nachvollziehbar zu machen, sind natürlich Skizzen erforderlich.

Die Skizze 1, die unten als Bild angezeigt ist (und die ich auch als PDF hochgeladen habe), soll die Grundlage der Darstellung sein.

Der untersuchte Schwimmkörper (SK) hat Quaderform, also die Form eines Backsteins: nur ebene Seiten und rechte Winkel. Die Hauptspantebene liegt genau in halber Länge des SKs und steht senkrecht auf dem "Schiffsboden".

Der SK hat die Höhe h und die Breite b, er taucht in Ruhelage mit einer Tiefe von D in das Wasser.

CL (Center Line) ist die senkrechte Mittschiffslinie, die sich aus dem Schnitt der Hauptspantebene mit der Mittschiffsebene ergibt. Sie ist zugleich die Spiegelachse des Hauptspants.

Der Punkt K liegt in der Kiellinie und ist der Koordinatenursprung (0; 0). Das Koordinatensystem ist schiffsfest, neigt sich beim Krängen also mit.

Nicht verwirren lassen: das Koordinatensystem ist nach Norm so angelegt, das positive y-Werte nach Backbord zeigen! Wir betrachten also den Hauptspant vom Bug her.

Auf der z-Achse liegt über K der Punkt B. Das ist der Verdrängungsschwerpunkt (Auftriebsmittelpunkt, englisch meist CB, center of buoyancy). In Ruhelage ist das der Schnittpunkt der Diagonalen des (Teil-)Rechtecks unterhalb der Wasserlinie. Die Lage von B ergibt sich aus der Eintauchtiefe D, seine Koordinaten sind (0; 100), s.u.

Weiter oben auf der z-Achse liegt der Punkt G, das ist der Massenschwerpunkt des SKs (englisch CG, center of gravity). Der könnte auch woanders liegen, ich habe ihn erstmal in die geometrische Mitte des SKs gepackt. Später werden wir seine Lage verändern, um daraus Schlüsse zu ziehen.

Eigentlich gefällt mir die Darstellung der Koordinaten in Index-Form besser, aber Indices kann man hier im Text nicht schreiben.

Also verwende ich die englische Darstellungsart: TCB ist die y-Koordinate des Verdrängungsschwerpunkts B (transversal center of buoyancy) und VCB die entsprechende z-Koordinate (vertical ...). Und wenn ich das B durch ein G ersetze, erhalte ich dementsprechend TCG und VCG.

Der Hauptspant soll folgende Maße haben: h = 1000 mm, b = 2000 mm, die Koordinaten gebe ich jeweils in Millimetern an (Zahlenwert ohne Einheit).

Also, die Koordinaten der Ruhelage sind:
TCB = 0
VCB = 100
TCG = 0
VCG = 500

Die Länge des SKs soll 5000 mm sein, der konkrete Wert ist im Moment völlig unwichtig. Nur muss die Länge größer sein als die Breite, erst dadurch klärt sich ja, was Trimm und was Krängung ist.

So weit für den Moment.

[MV-Zausel]

Sieht gut aus....
VCB=100=KB, dann ist dein Tiefgang der Einfachheit halber D = 200 ? (habs nicht nachgemessen)

Weiter so

[Heimfried]

Zitat von MV-Zausel

Sieht gut aus....
VCB=100=KB, dann ist dein Tiefgang der Einfachheit halber D = 200 ? [...]

Ja, so ist das. Ich muss ja größere Krängungswinkel zeichnen können, brauche also ein bisschen Freibord.

[Heimfried]

So, nach der totlangweiligen Eröffnung mit den Erklärungen zu den Begriffen, geht es jetzt los mit der Krängung.

In diesem ersten Schritt geht es nur darum, was bei vorgegebenem Krängungswinkel mit der Lage von B passiert und wie man das berechnet.

Die Lageveränderung von B ist ja der Grund für das aufrichtende Moment, dazu kommen wir aber im nächsten Schritt.

B ist der Verdrängungsschwerpunkt, also der Schwerpunkt des vom eingetauchten Teil des Rumpfes verdrängten Wassers.

In der Skizze 2a ist eine Krängung um den Winkel Phi = 7° dargestellt. Ich habe den Winkel zwischen Mittschiffslinie (CL) und einem Lot auf die Wasserlinie eingezeichnet, der gleiche Winkel liegt auch zwischen dem Boden des Bootes und der Wasserlinie.

Zur Erinnerung: wir blicken vom Bug auf den Hauptspant, also ist die Backbordseite jetzt tiefer eingetaucht. Entlang der Bordwand gemessen, taucht diese jetzt D(Phi) ein. Ich benutze jetzt die Bezeichnung "D(Phi)", um anzuzeigen, dass dieses D vom Winkel Phi abhängt und nicht mit dem D in Ruhelage zu verwechseln ist (vgl. Skizze 1).

Zur Berechnung: parallel zum Bootsboden gibt es eine rote Linie, die durch den Schnittpunkt von Wasserlinie WL und Mittschiffslinie CL geht. Diese rote Linie bildet mit der Wasserlinie und den entsprechenden Abschnitten der Bordwand rechts und links der Mitte jeweils ein schmales Dreieck. Diese Dreiecke sind flächengleich (rotationssymmetrisch). Das bedeutet, wenn die Bordwand backbords einen Zentimeter tiefer eintaucht, kommt die Bordwand steuerbords einen Zentimeter aus dem Wasser.

D(Phi) = D(Ruhelage) + Delta (für Bb)
Delta ist das durch Krängung zusätzlich eingetauchte Maß.
Das D(Phi) für Stb ist D(Ruhelage) - Delta

Diese Flächengleichheit bedeutet zugleich, dass der Schnittpunkt von CL mit WL unverändert bleibt, solange der Kimmknick auf Steuerdordseite nicht aus dem Wasser kommt.

Die benetzte Spantfläche (ich hoffe, ich gebrauche diesen Ausdruck richtig) hat jetzt die Form eines Trapezes. Wir können jetzt die Fläche des Trapezes kontrollieren, sie müsste mit der benetzten Fläche in Ruhelage (Rechteck D * b = 200 mm * 2000 mm = 400000 mm²) übereinstimmen, weil sich das Gewicht und damit die Verdrängung nicht geändert hat.

Fläche eines Trapezes allgemein: 1/2 * Höhe * (a + c). Die Höhe des Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten a und c.
Die parallelen Seiten liegen auf den Bordwänden, also ist die Trapezhöhe unsere Schiffsbreite b.

Summe der parallelen Seiten: D + Delta + D - Delta = D + D + Delta - Delta = 2 * D (weil Delta - Delta = 0)

Trapezformel: 1/2 * b * 2 * D = 1/2 * 2 * b * D = b * D = 2000 mm * 200 mm = 400000 mm²

Wie zu erwarten, stimmen die benetzten Flächen im Ruhezustand und im gekrängten Zustand überein.

Es geht ja aber in erster Linie um den Verdrängungsschwerpunkt, der freundlicherweise mit dem geometrischen Schwerpunkt der benetzten Trapezfläche übereinstimmt. Er liegt auf der Schwerelinie SL (pink eingezeichnet), die verbindet die Mitten der parallelen Seiten. Der Abstand des Punktes B von der Backbordseite ist durch folgende Formel gegeben:
(b / 3) * (D + Delta + 2 * (D - Delta)) / (D + Delta + D - Delta) = (b / 3) * (3 * D - Delta) / 2 * D
Mit D ist jetzt wieder D(Ruhelage) gemeint.

TCB ergibt sich, wenn wir diesen errechneten Abstand von der halben Schiffsbreite abziehen. Zur Erinnerung: TCB wird parallel zur y-Achse gemessen, die y-Achse liegt in der Linie des Schiffsbodens, die z-Achse in Linie mit der CL.

VCB, also den Abstand von B zum Schiffsboden, erhalten wir über die Steigung der Schwerelinie:
an Steuerbord hat sie eine z-Koordinate von (D - Delta) / 2 an Backbord von (D + Delta) / 2.
Sie steigt also über eine Strecke von b um (D + Delta) / 2 - (D - Delta) / 2 = Delta

Bis zum Punkt B steigt sie also proportional zur Strecke (b/2) + TCB.

VCB = Delta * (b/2 + TCB) / b + (D - Delta) / 2

***
Jetzt fallen mir langsam die Augen zu, ich muss das Geschriebene morgen noch kontrollieren.
(Edit: richtige Fehler habe ich nicht gefunden, aber ein paar Kleinigkeiten redigiert.)

[Heimfried]

Ein Blick auf die Skizze 2b (im vorangegangenen Beitrag gepostet) zeigt, dass sich die geometrischen Verhältnisse des Unterwasserschiffs ändern, wenn die Krängung so stark wird, dass der Kimmknick steuerbords über der Wasserlinie liegt. Hier im Beispiel ist Phi = 20°.

Dann ist die Symmetrie weg, entsprechend der ein Teil des Verdrängungsvolumens (Delta * b/2) einfach auf die andere Schiffsseite wandert. (Quasi zum Ausgleich ist die benetzte Spantfläche ein Dreieck, dessen Schwerpunkt sich einfacher errechnen lässt.)

Es gilt immer noch, dass die Verdrängung konstant bleibt, die ja durch unsere benetzte Spantfläche repräsentiert wird. Würden wir weiterhin davon ausgehen, dass die Wasserlinie um das Maß D über K liegt (in der Skizze 2b die gestrichelte Linie über der WL), dann ergäbe sich eine zu große benetzte Spantfläche (Dreieck).

Wir müssen also unser Delta jetzt anders bestimmen, die Voraussetzung ist: Fläche Dreieck (gekrängt) = Fläche Rechteck (Ruhelage) = b * D.

Fläche Dreieck = (Delta + D) * c/2 = b * D ; c ist die geometrische Dreieckshöhe, also der Abschnitt des Schiffsbodens vom Kimmknick Backbord bis zum Schnittpunkt mit der Wasserlinie.

Da wir Phi haben, können wir c errechnen: c = (Delta + D) / tan(Phi) .

Wenn wir dieses c einsetzen, ergibt sich: b * D = (Delta + D) * (Delta + D) / (2 * tan(Phi)) = (Delta + D)² * 1 / (2 * tan(Phi))

Aufgelöst nach Delta ergibt sich: Delta = Quadratwurzel(b * D * 2 * tan(Phi)) - D

B liegt auf der Schwerelinie SL des Dreiecks, die geht von der Mitte der Seite D(Phi) zur gegenüberliegenden Ecke. Der Abstand von der Seite D(Phi) ist 1/3 der Dreieckshöhe (Delta + D) / tan(Phi).

TCB = b/2 - (Delta + D) / 3 * tan(Phi)

VCB errechnen wir wieder aus der Steigung der SL. Die SL steigt im Koordinatensystem von 0 auf D(Phi)/2 = (Delta + D) / 2 , am Punkt B hat sie 2/3 dieser Steigung genommen.

VCB = 2/3 * (Delta + D) / 2 = (Delta + D) / 3

[Heimfried]

Die Formeln werden jetzt zum Rechnen benutzt.

Dafür habe ich mir ein Excel-Blatt zurechtgemacht (Auszüge als Bild und das Ganze als PDF beigefügt, auch ein Diagramm).
Ich benutze Excel von 2003 und weiß nicht, ob sich Änderungen in neueren Versionen hier auswirken würden.

In der linken Tabellenspalte steht der Krängungswinkel Phi in Grad. Wie man sieht, habe ich Schritte von einem Grad vorgegeben und ich höre bei 51° auf,
weil dann die Wasserlinie knapp an der Backbordkante steht und ich schon für Phi = 52° wieder eine andere Berechnungsformel benötigen würde
(die benetzte Spantfläche wird dann wieder ein Trapez).

In der zweiten Spalte steht Phi im Bogenmaß, diese Spalte ist gar nicht nötig, macht aber die noch kommenden Formeln übersichtlicher.

In der dritten Spalte steht das Delta, also die Verschiebung der Wasserlinie auf der Bordwand anBackbord: Delta = D(Phi) - D .

Hier kommt die Excel-Formel: "=WENN(C40<=C$30;C$27/2*TAN(C40);WURZEL(C$27*C$28*2*TAN(C40))-C$28)"

Das "WENN" brauche ich, um die beiden Fälle Phi < Phi(k) und Phi > Phi(k) zu unterscheiden, da ja unterschiedliche Formeln zum Ansatz kommen.

Das entsprechende gilt dann auch für TCB und VCB, die in den nächsten Spalten gezeigt werden.

Formel für TCB: "=WENN(C40<=C$30;C$27/2-(C$27/3*(3*C$28-D40)/(2*C$28));C$27/2-(D40+C$28)/TAN(C40)/3)"

Formel für VCB: "=WENN(C40<=C$30;(C$27/2+E40)/C$27*D40+(C$28-D40)/2;(C$28+D40)/3)"

Ich habe dann in Excel die Koordinaten für B grafisch dargestellt (Diag1).
Das ist die Lage von B im Schiffskoordinatensystem, jede Marke in der Kurve bedeutet, dass Phi um ein Grad höher liegt.

Man sieht ganz gut, dass B bei kleinen Krängungswinkeln fast nur zur Seite ausweicht (y-Richtung), dann aber bei größeren Winkeln mehr und mehr in z-Richtung geht.

Auf dem Bild (Ex1a.jpg) ist nicht die ganze Tabelle dargestellt, die sieht man in der PDF-Datei (Ex1.pdf).

[hheck]

Hallo Günter,
beim Bau meines Boote hatte ich das gleiche Problem.
Ich habe das damals mit Turbobasic und "Baader" gelöst, und zwar nach folgender Strategie:
Für alle Spanteckpunkte die Koordinaten x,y eingelesen.
Alle Koordinaten in die gewünscte Lage (Neigung und Eintauchtiefe) umgerechnet.
Alle Überwasserkoordinaten genullt (Zwischenwerte auf Wasserspiegel ermittelt).
Die Spannten in Dreiecke aufgeteilt.
Die Dreiecksflächen F und Dreiecksschwerpunkte xS,yS gerechnet.
Summe aller F ist gleich dem Auftrieb.
Summe aller Momente ( F*xS ) geteilt durch die Summe aller F ist gleich dem Auftriebshebelarm
Auftrieb mal Hebelarm ist Rückstellmoment.

Sorry, weil ich hier nicht alles gelesen habe und vllt an etwas vorbeirede.


Gruß
Helle
M.Y.Franziska

Übrigens empfehle ich den Download: http://www.boote-forum.de/showthread...=125041&page=3
ab Seite 399 ist das Thema behandelt.

[Heimfried]

Moin Helle,

danke für deinen Beitrag und den Link. (Vor kurzem hatte Ewald einem anderen Nutzer geraten)*, hier im Forum nach "Baader" zu suchen. Ich habe auch gesucht und viele Fundstellen gesehen, aber nicht diesen Link zum PDF-Download.)

Klar gibt es für die Berechnung der Lage von B verschiedene Ansätze. Die Zerlegung in Teilflächen und Teilschwerpunkte habe ich zuerst auch genutzt, das kann man noch an der unkommentierten grünen Linie in Skizze 2a sehen, die das Unterwasser-Trapez in ein Rechteck und ein Dreieck aufteilt. Und wenn ich noch zu den Knickspantern komme, muss ich sowieso mit Teilflächen arbeiten. Es schien mir nur für den Anfang übersichtlicher, nur eine Figur (Trapez oder Dreieck) zu verwenden.

Du hast allerdings, wie man an der Skizze sieht, dein Koordinatensystem an der Wasserlinie orientiert, was ja zu den gleichen Ergebnissen führen muss.

*(Edit: es war Wilhelm (Simpelboot) und der Beitrag ist gut 2 Jahre alt, aber ich hatte ihn erst vor ein paar Tagen gelesen. So trügerisch ist die Erinnerung.)

[Heimfried]

Jetzt kommt das aufrichtende Moment mit dem aufrichtenden Hebelarm GZ.

Ich habe die Skizze 3 (jpg + pdf) beigefügt, sehr ähnliche Darstellungen kann man an vielen Orten finden. Ich werde deswegen auch nicht sehr viel Worte machen, aber ich wollte die Skizze nicht auslassen, weil diese sich ja in das bisherige Modell einfügt.

Vom Verdrängungsschwerpunkt B, dessen Lage (TCB; VCB) durch den gewählten Krängungswinkel Phi gegeben ist, zeichne ich eine Gerade, die senkrecht auf der Wasserlinie steht. Das ist die Wirkungslinie der Auftriebskraft F(B), diese Kraft ist senkrecht nach oben gerichtet.

Eine weitere senkrechte Linie läuft durch den Massenschwerpunkt G. Das ist die Wirkungslinie der Gewichtskraft F(G), die den gleichen Betrag hat, wie die Auftriebskraft, aber senkrecht nach unten wirkt.

Der Punkt, der sich auf der Senkrechten durch den Punkt B ergibt, wenn ich eine Waagrechte durch den Punkt G lege, wird Z genannt. GZ, die Strecke zwischen den Punkten G und Z steht für den Hebelarm, an dem das Kräftepaar Auftrieb und Gewicht angreift und das aufrichtende Moment erzeugt.

Dort, wo die Wirkungslinie der Auftriebskraft (Senkrechte durch B) die Mittschiffslinie CL schneidet, liegt M, das Metazentrum.

Das Metazentrum verschiebt sich mit wachsender Krängung und es verläßt auch die CL, weil es anders definiert ist, als ich es konstruiert habe, aber für kleine Krängungswinkel (Phi etwa bis 5°) ist das so, wie angegeben. Damit die Änderung der Lage des Metazentrums deutlich wird, spricht man oft vom Anfangsmetazentrum, das für kleine Winkel zutrifft.
Die Entfernung des Anfangsmetazentrums vom Punkt G wird metazentrische Höhe genannt und ist ein wichtiges Datum der Schiffsstabilität.

Wie berechnet man diese Größen?
Zunächst M:
Die Senkrechte durch B bildet zwischen dem Schnittpunkt mit dem Schiffsboden und dem Schnittpunkt mit CL (Punkt M) die Hypothenuse (also die längste Seite) eines rechtwinkligen Dreiecks. Die anderen Seiten (Katheten) werden gebildet durch die CL im Abschnitt zwischen M und K und dem Abschnitt des Schiffsbodens zwischen K und dem Schnittpunkt mit der Senkrechten durch B.

Die Strecke KM unterteile ich in zwei Abschnitte: erstens vom Punkt K bis dort, wo die Parallele zum Schiffsboden durch Punkt B die CL schneidet und, zweitens, den Rest bis hoch zum Punkt M. Dieser Rest hat die Länge TCB / tan(Phi) , weil M, B und der genannte Schnittpunkt wieder ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Der Abschnitt darunter hat die Länge VCB, denn Punkt B ist ja um VCB vom Schiffsboden entfernt.

KM = VCB + TCB / tan(Phi)

GM, die metazentrische Höhe, ist: GM = KM - KG = KM - VCG . KG oder VCG liegt ja fest durch die Masseverteilung von Boot und Ladung, in unserem Beispiel hatte ich das mit 500 mm festgelegt.

Da wir jetzt GM kennen, lässt sich GZ leicht errechnen: GZ = GM * sin(Phi) .

[Heimfried]

Obwohl ich fürchten muss, dass ich euch mit zu vielen Formeln verschreckt habe, mach ich mal weiter mit den Excel-Berechnungen.

Wie üblich, sind die Dateien mit den Tabellen angehängt, auf dem jpg-Bild fehlen aus technischen Gründen Datensätze, die PDF ist vollständig.

Ich habe die Spalte GM ergänzt mit der Formel: "=F40+E40/TAN(C40)-C$33"
und die Spalte GZ mit der Formel: "=G40*SIN(C40)" .

Ergänzend dazu habe ich ein Diagramm (Diag2) beigefügt, welches den Verlauf von GZ bei steigenden Krängungswinkeln zeigt.

Man sieht, dass unser "Backstein", wie zu erwarten war, eine hohe Anfangsstabilität hat (hohe GZ-Werte bei kleinen Winkeln). Nach einem Maximum bei 29° nimmt der Wert für GZ dann wieder etwas ab. Die Abnahme ist ebenfalls typisch, kann aber bei anderen Winkeln liegen.

Achtung bei etwaigen Vergleichen: um einheitlich zu bleiben, habe ich auch GZ in Millimetern angegeben, üblich ist die Angabe in Metern.

[Heimfried]

Noch eine Stabilitäts-Kenngröße: die Fläche unter der Hebelarmkurve.

Die Hebelarmkurve ist in Diagramm Diag2 dargestellt (siehe Vorbeitrag)., Diese Fläche ist ein Maß für die beim Krängen vom Boot aufgenommene Energie. Je größer diese Energie ist, desto stabiler liegt das Boot.

Diese Fläche wird klassisch durch Intergration ermittelt. Dazu muss man allerdings die Kurve (meist abschnittsweise) durch mathematische Funktionen beschreiben können. Diese Funktionen kennen wir nicht und müssten sie deshalb erst mühsam ermitteln.

Sehr viel einfacher ist eine numerische Integration, ein Näherungsverfahren, in dem die Fläche unter der Kurve in schmale, senkrechte Streifen aufgeteilt wird. Oben wird dieser Streifen waagrecht abgeschnitten, seine Höhe wird festgelegt mit dem Wert, den GZ auf der rechten Seite des Streifens hat. (Die linke Seite ginge grundsätzlich genausogut, nur sollte man nicht wechseln.) Der Streifen ist also ein Rechteck, dessen Fläche durch Breite und Höhe des Streifens bestimmt ist. Wenn alle Flächen der Streifen in dem fraglichen Winkelbereich (hier 0 rad bis 0,89 rad) summiert werden, ergibt sich ein Näherungswert für die Fläche unter der Kurve.

Ich habe das in die Exceltabelle eingefügt in die Spalte ganz rechts, Formel: "=(C40-C39)*H40/100" .

Die Differenz C40-C39 ist die Breite des Streifens in rad zwischen den Krängungswinkeln 0° und 1° und H40/100 ist die Höhe des Streifens (also der Wert von GZ bei 1°, allerdings in Metern (s. u.)!

Am Fuß der Spalte habe ich noch die Summe errechnen lassen, die ja den Stabilitätswert ergibt. Wegen der Vergleichbarkeit mit anderswo publizierten Werten habe ich die Einheit m * rad gewählt, weil das üblich ist; in einer Publikation des BSH wird das auch "Radiantenmeter" genannt. (In manchen Veröffentlichungen wird damit schlampig umgegangen und einfach "mrad" geschrieben. Das bedeutet aber Millirad und wäre eine kleine Winkeleinheit.)

(Allgemein: Wenn ich hier Excel-Formeln zeige, stammen die jeweils aus der ersten Datenzeile mit einem Krängungswinkel größer 0.)

[MV-Zausel]

Gute Arbeit!
Formeln, Hebelarmkurve... bis zum sog. Simpson-Verfahren zur Ermittlung der Fläche unterhalb der Hebelarmkurve sieht alles gut aus!

Keine Sorge... hier lesen genug ler mit.... nur wer kennt sich schon damit aus bzw beschäftigt sich in seiner Freizeit so eingehend damit!?!?!


Gruß
Guido

[hein mk]

Zitat von MV-Zausel

Gute Arbeit!
Formeln, Hebelarmkurve... bis zum sog. Simpson-Verfahren zur Ermittlung der Fläche unterhalb der Hebelarmkurve sieht alles gut aus!

Keine Sorge... hier lesen genug ler mit.... nur wer kennt sich schon damit aus bzw beschäftigt sich in seiner Freizeit so eingehend damit!?!?!


Gruß
Guido

Moin
Na ja,die Simpson-Methode ist es ja nicht ganz wenn man die Fläche unter der/den Kurve/n in rechteckige Striefen aufteilt,wo bei es natürlich auf die Anzahl der Teilung ankommt je schmaler die Rechtecke sind je besser die Annäherung.Für die Berechnung kurvig berandeter Flächen also Wasserlinien,Spantflächenkurven usw benutzten Boots-und Schiffbauer deshalb die Trapetzmethode oder für eine noch genauere Annäherung die Simpsonmethode,da mit ließ sich der Berechnungsaufwand,der ja von hand mit Tafelwerken oder Rechenstäben erbracht wurde,begrenzen in Zeiten in denen jedes Mobiltelefon mehr Speicherkapizität hat als die tollsten PCs der Computerfrühzeit sind solche Überlegungen natürlich nur noch reines Gehirntraining das einen u.U. in die Lage versetzt Verdrängungs,Stabilitäts-und was sonst noch für Berechnungen intuitiv zu erfassen um schnell mal die Verhältnisse abschätzen zu können wenn man einen Grobentwurf macht.
gruss hein

[Heimfried]

Da das Thema angesprochen wird, noch eine Ergänzung.

Es lässt sich ja numerisch abschätzen, wie gut eine Näherung ist.
Ich habe deshalb zunächst bei gleicher Anzahl der Streifen statt der Rechteckform die bessere Trapezform verwendet. Also jeder Streifen hat auf der linken wie auf der rechten Seite den jeweiligen Funktionswert. Die Fläche des Streifens ist gleich der Fläche eines Rechtecks, dessen Höhe dem Mittelwert der beiden Funktionswerte an den Rändern gleich ist.
Excel-Formel: "=(C41-C40)*(H40+H41)/200" (Datei: numInt52.pdf)

Diese Näherung muss besser sein, das sieht man, wenn man sich das beispielhaft mit wenigen Streifen aufzeichnet.

Die Summe ist auch erkennbar niedriger, jedoch ist die Änderung im Verhältnis zum Flächenwert recht klein.

Ich habe auch noch eine Spalte mit der jeweiligen Differenz danebengestellt. Man sieht, dass am Anfang der Kurve die Rechteckmethode zu größeren Werten führt, nach dem Kurvenmaximum jedoch zu geringeren Werten.

In einer weiteren Rechnung habe ich die Krängungswinkel nur um jeweils 0,5° vergrößert, bekomme also die doppelte Anzahl von Streifen und damit ebenfalls eine bessere Näherung. Sehr beeindruckend ist der Unterschied aber nicht. (Datei: numInt103.pdf)

[Heimfried]

Zitat von seebaer150

Die Verschiebung vom Auftriebsschwerpunkt ist bei minimalen Krängungen gegen Null. Trotzdem ist das aufrichtende Moment enorm. Hier fehlt was.

Moin seebaer150

Das sehe ich nicht so. In unserem Beispiel würde ein Krängungswinkel von 0,1° (den kannst du mit einer guten Wasserwaage mal geradeso feststellen) bereits dazu führen, dass B um 3 mm aus der Mittschiffslinie herauswandert, GZ wäre gut 2 mm = 0,02 m.

Wo wäre da ein enormes aufrichtendes Moment?

Vielleicht habe ich deinen Einwand nicht richtig verstanden.

[Heimfried]

Es geht um meine Aussage:
Das bedeutet, wenn die Bordwand backbords einen Zentimeter tiefer eintaucht, kommt die Bordwand steuerbords einen Zentimeter aus dem Wasser.

Zitat von seebaer150

Das trifft in Realität aber nicht zu. Das Schiff taucht tiefer ein, als es auf der anderen Seite herauskommt.

Es kommt auf die Realität an, die du meinst, Sportboote haben keine Quaderform.

Natürlich stimmt meine Aussage nur, wenn der Schiffskörper Quaderform hat und der Kimmknick unter Wasser bleibt, so habe ich das oben dargestellt.

Dann muss es aber auch in der Realität stimmen. Das ergibt sich daraus, dass die Verdrängung unverändert bleibt und aus der Flächengleichheit der Differenzdreiecke.